在浙江大学数学系任教逾25年，蔡天新教授从未像现在这样关注过“排名”——今年6月，由他主讲的视频公开课《数学传奇》登陆“爱课程”（icourses）网。这是一个教育部打造的中国大学视频公开课网站，迄今已囊括了国内394所高校的1038门课程。

 

《数学传奇》上榜两个月多，一直稳居“爱课程”周人气榜前三位。有一、两周，这门课甚至还登上了“冠军”。

 

作为课程的主讲人，蔡天新对人气榜的关注，有一层别样的含义。

 

时下，无论是大学里关起门来的精品课程评选，还是一些社会机构和公共媒体打造的面向公众的大型讲坛、论坛，人文社科的受欢迎和受认可程度远高于数学这样的纯自然科学。

 

“从帝王将相到后宫轶事，从玉器收藏到茶道礼仪，在公共讲坛或讲座里，这些题目会带来很高的上座率，但一谈及科学，感兴趣的公众就立马少了。”蔡天新直言，这是普罗大众的科学素养欠如人意的一个注脚，说明国内学界在自然科学的普及工作方面做得很不够。

 

冷眼旁观、发几句牢骚甚至批评都是简单的，但身为数学圈内人，能否为数学文化的推广做些实事，为自然科学的普及探一条新路？这是蔡天新拿着自己的课程到全国“打擂台”的原因和动力。

 

诗歌和数学，多么相似！

 

在中国，每一位初中生都知道勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。谈及这一数学定理，古希腊数学家毕达哥拉斯的名字必然会在课堂上“一带而过”。因为对这个定理的论证，最早就是由毕达哥拉斯完成的。

 

然而，毕达哥拉斯本人对这一定理究竟如何表述？难道仅仅是写一连串的数学公式？在蔡天新的《数学传奇》，学生们听到了答案：

 

“斜边的平方如果我没有弄错等于其他两边的平方之和。”“毕达哥拉斯是用诗歌的语言，写出了这个著名的定理。”蔡天新在课上介绍道。

 

15岁上大学、24岁获博士学位、31岁晋升教授的蔡天新，一直专攻数论。不过，除了“数学学院派”，他的另一个身份是诗人，他的诗集被译成多种语言出版。作为一名跨界的学者，由蔡天新主讲的通识课，和普通数学老师的讲课理路很不一样。

 

“长久以来，搞数学的人不知不觉地挤在一个小圈子里，里面的人不愿意出去，外面的人也不愿意进来。”蔡天新在录制《数学传奇》之前，他在浙江大学和另外 四位教授常年开设一门通识课《数学与人类文明》。当初，之所以考虑要给大家讲讲数学文化，是因为这位数学系教授觉得，他个人非常喜欢的两样东西——数学和 诗歌——在如今的大学里已经略显“落伍”。

 

上世纪80年代，当蔡天新还在山东大学数学系求学时，数学和诗歌曾经是“校园里最酷的玩意儿”。而数学和诗歌又直接连接着人类文明的源头，“一个是最古老的理科，一个是最古老的文科。它们都是用最简洁的语言来表达最深刻的道理，都是人类最自由的两项智力活动。”

 

可如今，和“90后”大学生掰这些，弄不好就会碰一鼻子灰。

 

蔡天新说，最初在校园里开设通识课和公众讲座时，受众的需求就被纳入了考虑。因此，这门课没有天书般的数学符号和公式，但有很多“浇头”。文学、史学、哲学、音乐、天文等人类文明发展史上的轶事，乃至一些“野史”，都会被他搬到了这门《数学传奇》上。

 

比如，给学生介绍毕达哥拉斯的“亲和数”和“完美数”，蔡天新不得不把一连串古希腊的哲学家“请”到课上。从泰勒斯、到亚里士多德、再到阿那克西曼德， 阿那克西米尼……在他看来，不了解古希腊的时代底色，不了解哲学对于古希腊人的意义，学生们就不可能完整了解作为传奇人物的毕达哥拉斯。

 

“完 美数与日常生活有关联。它的定义小学生也能搞懂，是指一些特殊的自然数，它等于小于自身的真因数之和。比如，6=1+2+3，所以6是完美数。《圣经·创 世纪》里写道，‘上帝用6天创造了世界，第7天是休息天。’这是因为，6是完美数。”但2500年来，人们只找到48个偶完美数，而且其中的36个，是用 计算机找到的（最新的14个则依赖于最先进的计算机联网）。究竟是否存在无穷多个偶完美数？是否存在一个奇完美数？这被称为完美数问题。在一位意大利著名 数学家的近作里，完美数问题称列为未解决的“四大数学难题”之首。

 

“我的这门课讲了十几名数学大家，其中大约有一半人，他们同时是哲学家或文 学家。”蔡天新说，一些数学家之所以传奇，是因为他们对于人类文明史的贡献远不止一个数学定理或公式这样简单。比如，波斯数学家欧玛尔·海亚姆是诗人、天 文学家，同时也热衷哲学和宗教。再如，笛卡尔、帕斯卡、莱布尼兹等，从今天的眼光看来，都是跨界高手，在数学史、哲学史等多个学科领域留名。

 

在课堂上，蔡天新还时常会拿出地图，像介绍旅行攻略一般，细致地和学生们讲一些伟大数学家毕生的游学历程。“现在的年轻人刚来大学里，一开始对基础学科很 隔膜，但大家普遍喜欢旅行、摄影，碰巧这些我也都在行。”教学经验丰富的蔡天新于是就用“热门”的旅行、摄影来勾兑数学、诗歌这类被归为“冷门”的学科。 他甚至会启发如今这些酷爱旅行的大学生，到海外旅游或者游学，除了游览传统的景点和博物场馆，到名人故乡去走访、感受一番，也是不错的选择。

 

据悉，在登陆“爱课程”前，这门《数学传奇》，是浙江大学理学部第一门，也是浙江省基础科学第一门国家级精品视频公开课。

 

守护“道古桥”

 

如果只是照本宣科地按照时代顺序讲一些数学发展史上的轶事，蔡天新认为，学生们完全可以求教于图书馆和互联网。在课堂上，蔡天新更乐意分享他的新发现和新见解。

 

听过蔡天新讲课的学生，都会记住“秦九韶”这位南宋大数学家的名字，有人甚至还会专门去杭州天目山路上的道古桥去“朝圣”。小巧精致的道古桥，是秦九韶 亲自设计的，“道古”两字正是秦九韶的字号。不过，即便在杭州当地，即便是从事数学研究的学者，知道这段典故的人也很少。

 

“在中国的很多中小学，都有祖冲之的塑像。但实际上，对中国数学作出卓越贡献的大家中，比起祖冲之，有一个人的成就要大得多。”以一种为古人“翻案”的口吻，蔡天新向同学们讲述秦九韶的故事。

 

无论中国还是外国，每一本基础数论的教科书上，都有且仅有一个定理是与中国数学家有关的，它叫中国剩余定理，这一定理现在被广泛应用到抽象代数、密码 学、哥德尔不完全性定理的证明，快速傅立叶变化理论，等等。在蔡天新的新著《数之书》里，这个定理第一次被称作“秦九韶定理”，他认为，这才符合国际学术 惯例。

 

蔡天新介绍说，论数学成就，秦九韶所著的《数书九章》全面超越了前人所著的《九章算术》。在《数书九章》中，秦九韶提出了“开方正负 术”和“大衍总数术”两个重要的成果。“开方正负术”给出了一个解多项式方程的简化算法，在西方又被称作霍纳算法。其实，对这一算法的正确表述应该是“秦 九韶算法”。

 

即便在计算机时代，“秦九韶算法”仍有重要意义。

 

“大衍总数术”就是中国剩余定理。大约在公元四五世纪成书的《孙子算经》里有所谓的“物不知数”问题。即“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”，“答曰二十三”。孙子只是给出了一个特殊例子，而秦九韶给出了一般的结论和计算方法。

 

“这样一个大数学家，他的学术成就未被同代人认识，到了暮年和身后，又被两位文人所写的小文章诬陷，说他贪赃枉法。”根据蔡天新收集的史料，当时强烈抨 击秦九韶的“罪状”的两篇文章内容相通，分别是福建词人刘克庄的《缴秦九韶知临江军奏状》和湖州文人周密《癸辛杂识·续集》中的《秦九韶》，由于后者被收 入《四库全书》列入“小说家之类”流传，秦九韶从此在历史上留下了污点。

 

刘克庄生前，他的为人就遭人鄙夷。到了清代，学者阮元、焦循、陆心源 等人开始相继批驳周密，指其造谣诽谤，这才开始有人为秦九韶列传。直至1842年，秦九韶《数书九章》由历算名家宋景昌校订后第一次印刷出版。也就说是， 在此前的600年，这部书都没有公开出版，而是靠着民间一代代传抄才得以保存。

 

2005年，牛津大学出版社出版了《数学史，从美索不达米亚到 现代》，该书内容提要仅提及12位数学家，秦九韶是唯一的中国人。稍后，英国广播公司（BBC）精心制作了四集纪录片《数学的故事》，其中谈到中国的有十 多分钟，唯一提到的人物也是秦九韶。而目前美国波士顿科技馆的塑像群里有四位中国数学家，古代的也只有秦九韶一人，另外三位是华罗庚、陈省身和丘成桐。

 

有趣的是，到了当代，蔡天新却成了秦九韶的另一个“守护者”。原来，进入本世纪后，架在杭州西溪河上的道古桥难逃拆迁命运，当地的一项市政建设工程上马，导致桥毁河填，只保留了道古桥公交车站的名称。

 

2012年，在蔡天新的建议下，杭州市地名办和民政局将距老桥遗址百米的一座新桥命名为道古桥。桥头还树了一块石碑，由中科院院士、数学家王元先生题写了桥名。

 

台湾科学作家江才健认为，“由道古桥与《数书九章》谈到秦九韶的数学贡献，不但洗刷了秦九韶在科学史上的疑难，同时也建立起他应有的历史地位。”

 

从与大师的对话中获取灵感

 

算起来，蔡天新从事数学普及和数学文化写作已有20年，出版过《数学与人类文明》《数字与玫瑰》等多部著作。

 

今年把公开课搬上“爱课程”网，和全国各地高校的精品课程“打擂台”，这被蔡天新认为是“最高调”的一次。此前，他更多的时候是给报刊杂志撰文，到大学、中学、图书馆、书店和政府机关做公众演讲，或在个人的博客和微博上，向大众推介数学文化以及最前沿的数学研究进展。

 

“长久以来，国内的一些科普工作，包括数学在内，主要的落脚点是把复杂问题简单化、通俗化，也就是让外行的人了解一些专业的问题。”而蔡天新的想法是， 要把数学和文化在真正意义上打通，这样科普才能更上一个台阶，才能提到大众的数学修养和数学工作者的人文修养。当然，他坦率地说，今年之所以“抛头露 面”，一个重要的原因是他在自己多年专攻的数论研究上有了突破性进展。

 

去年，蔡天新在核心期刊上发了7篇论文，学术专著《数之书》也已付印。在国内外的一些数学杂志上，开始有关于他在数论研究新进展的介绍，包括英国皇家学会会员、菲尔茨奖得主阿兰·贝克在内的名家，都对蔡天新的研究成果予以褒奖。

 

“从事数学普及和文化推广，自身腰板要硬，否则人家凭什么信服你。”实际上，蔡天新的这一见解，多少暗含着严肃学者从事大众科普的阻力。

 

近几年蔡天新迎来学术“丰收”，在他看来，与从事数学普及和文化推广不无关系。“研究数学史上的传奇人物，相当于我一直在与他们对话，从中必然也学到了某种东西，提升了自己的数学眼界和想象力，学术研究自然找到了突破口。”

 

其实，在《数学传奇》课堂上给学生介绍的完美数，正是蔡天新的研究课题。完美数不仅是始于毕达哥拉斯的古老问题，后来的笛卡尔、费马和欧拉等大数学家也 都试图找到它的推广，但却没有成功。而今，在确定系数3以后，蔡天新定义了平方和完美数，将它与古老的斐波那契孪生素数一一对应，从而再次产生了无穷性。 他介绍说，后者用计算机可以找到5对（个）。其中最小的两个完美数是10和65，最大的两个是天文数字。“这也验证了爱因斯坦的断言：真正的定律应该是非 线性的。”蔡天新兴奋地说。

 

“最古典的也是最现代的。”这是美国大诗人庞德的名言，也是蔡天新发自内心的信念，他希望听过他数学课的年轻学子们，能真正理解并记取这一点。

 

业余数学家之王

 

在微积分诞生之前，唯有几何学在数学中占据重要地位，它的核心当然是欧几里得几何。

 

随着笛卡尔坐标系的建立，用代数方法研究几何学的桥梁得以构建，作为附庸地位的代数学面貌也有所改观，可是，那时候代数学的工作重心依然围绕着解方程问 题，代数学真正革命性的变革还要等到19世纪的来临。如果真的率先有所突破的话，这个领域就是数论，一门专注于自然数或整数性质及其相互关系、时常游离于 代数的宅前院后的最古老的数学分支。那主要是因为一个隐姓埋名的业余爱好者的兴趣和努力。这个人便是法国南方小城图卢兹的文职官员——皮埃尔·德·费尔马 （Pierre de Fermat）。

 

作为一个远离首都巴黎的外省人，费尔马担任的司法事务占据了他白天的工作时间，而夜晚和假日几乎全被他用来研究数学了。部分原因是那个时候的法国反对法官们参加社交活动，理由是朋友和熟人可能有一天被法庭传唤，与当地居民过分亲密会导致偏袒。

 

正是由于被孤立于图卢兹上流社会交际圈外，费尔马才得以专心于他的业余爱好。他几乎把每一个夜晚都奉献给了数学，完成了许多极其重要的发现，其中对数论问题尤为倾心，提出了一堆命题或猜想，使得数学家们忙碌了好几个世纪。

 

费尔马所证明的完整结论其实不多，著名的有：每一个奇素数可用且仅可用一种方式表示成两个平方数之差；每一个形如4n+1的奇素数，作为整数边直角三角形的斜边，仅有一次，其平方有两次，立方有三次，等等。

 

例如：52=32+42，252=152+202=72+242；1252=752+1002=352+1202=442+1172

 

更多的时候，费尔马只是提出定理的结论而不给出证明。例如，整数边直角三角形的面积不会是某一个整数的平方数；每一个自然数可表示成四个（或少于四个） 平方数之和。值得一提的是，这个结论的推广是著名的林华问题，有关林华问题的研究为我国数学家华罗庚带来了最初的国际声誉，后者对数学的贡献涉及解析数 论、代数学、多复变函数论、数值分析等领域。

 

费尔马提出的两个命题后来均有法国数学家拉格朗日给出证明，瑞士数学家欧拉对费尔马问题花费了更多的精力。事实上，在欧拉漫长的数学生涯中，他几乎对费尔马思考的每一个数学问题都作了深入细致的研究。

 

例如，费尔马曾猜测，对每一个非负整数n，Fn=22+1均为素数（费尔马素数）。对于0≤n≤4，费尔马自己作了验证。欧拉却发现，F5不是素数，不仅如此，他还找到F5的一个素因子641。事实上，从那以后，人们再也没有发现有新的费尔马素数。

 

再如，1740年费尔马在给友人的信中给出了这样一个整除的命题：如果p是素数,a是任一与p互素的整数,则ap-1-1可被p整除。将近一百年后，欧 拉不仅给出了证明，且把它推广到任意正整数的情形，引进了后来被称作欧拉函数的φ(n)，即不超过n且与n互素的正整数个数。

 

上述结果及其推广分别被称为费尔马小定理和欧拉定理。有意思的是，现代社会所产生的信息安全问题使得公开密钥体制成为密码学的强有力工具，欧拉定理在其中扮演了重要的作用。

 

不过，对于被称为“费尔马大定理”的猜想，欧拉却无能为力。此后的三百多年间，这个问题吸引了无数聪颖智慧的头脑。直到20世纪末，费尔马大定理才由客居美国的英国数学家怀尔斯给出最后的证明，这条消息连同费尔马的肖像一起上了《纽约时报》的头版头条。

 

文汇报记者 樊丽萍（本文摘自《数学与人类文明》，蔡天新著，有删节）